8个常用泰勒公式展开(十个常用的泰勒展开公式)-ok百科知识网

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本文目录

不同余项的泰勒公式之间的关系
泰勒公式限制条件
什么是泰勒公式
常用的10个泰勒公式记忆口诀

不同余项的泰勒公式之间的关系

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式有好几种余项：皮亚诺、拉格朗日、柯西、积分余项等。

余项就是展开式与原函数的误差，余项越少，误差就越小。在一定允许的范围内，余项可以忽略不计，即所谓的无穷小。

泰勒公式限制条件

泰勒公式的限制条件为函数必须在展开点附近具有足够的阶次可导性质，展开点也必须在函数的收敛半径内。解释原因：泰勒公式是一种将一个函数展开成以展开点为中心的无限次可导函数的方法，而展开点的选取及函数的性质都是使用该公式的限制条件。内容延伸：泰勒公式广泛应用于高等数学中，可以通过该公式将复杂的函数化简成比较简单的形式，方便进一步的研究。此外，泰勒公式也可以衍生出不同的形式，如拉格朗日余项形式、佩亚诺余项形式等，有助于进行更加深入的研究。

什么是泰勒公式

在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。